Uczeń, jak każdy człowiek, chce umieć coś zrobić samodzielnie Spisy zadań Rozwiązane zadania z fizyki szkolnej - gimnazjum i szkoły ponadgimnazjalne (licea i technika) 448. Ruch Księżyca podstawą do obliczenia masy Ziemi.

Jak obliczyć masę Ziemi na podstawie obserwacji astronomicznych?

Prawo powszechnej grawitacji oraz zasady dynamiki i własności ruchu po okręgu pozwalają obliczyć masę Ziemi.

Wykorzystujemy w rozwiązaniu tego zagadnienia astronomiczne wielkości mierzone –
czas obiegu Księżyca wokół Ziemi i
odległość Księżyca od Ziemi (średni promień orbity Księżyca) oraz
stałą grawitacji.

W ruchu po okręgu występuje siła dośrodkowa – ona utrzymuje ciało w ruchu po okręgu (powoduje zakrzywienie toru ruchu).

Źródłem siły dośrodkowej utrzymującej Księżyc w ruchu na orbicie wokół Ziemi jest siła grawitacji – siła wzajemnego oddziaływania Ziemi i Księżyca.

Obliczenia takie były możliwe dopiero po zmierzeniu stałej grawitacji.

Bez znajomości tej wielkości wszelkie obliczenia masy Ziemi nie dawały wyniku w kilogramach (lub innych jednostkach masy ustalonych na Ziemi).

Przyspieszenie dośrodkowe ma zawsze wartość równą ilorazowi kwadratu prędkości przez promień okręgu (krzywizny).

Zadanie

Księżyc okrąża Ziemię w ciągu 27,3 doby po orbicie o średnim promieniu 384 400 km.
Korzystając z tych danych obliczyć masę Ziemi.

Rozwiązanie

Oznaczenia

Wprowadzimy oznaczenia na wielkości występujące we wzorach (zależnościach):

masa Ziemi,

masa Księżyca

prędkość Księżyca w ruchu wokół Ziemi

czas obiegu Księżyca wokół Ziemi (okres obiegu)

przyspieszenie dośrodkowej

siła dośrodkowa

siła grawitacyjnego oddziaływania

Rozwiązanie – wzory

Rozwiązanie - obliczenia

Otrzymana wartość jest bliska wartości tablicowej. Uwzględniając uproszczenia i przybliżenia możemy powiedzieć, że zgodność z wynikami z tablic jest znakomita.

448.5-2009.02.10