Uczeń, jak każdy człowiek, chce umieć coś zrobić samodzielnie Spisy zadań Rozwiązane zadania z fizyki szkolnej - gimnazjum i szkoły ponadgimnazjalne (licea i technika) 449. Pozornie banalne zadanie - obliczenie pracy potrzebnej do podniesienia ciała o skończonych rozmiarach

Jak obliczyć pracę potrzebną do podniesienia ciała o skończonych rozmiarach?

Zadanie

Jak obliczyć przyrost energii wody wypompowanej ze zbiornika o danej głębokości?

Jak obliczyć energię potencjalną węgla rozłożonego na placu względem poziomu wydobycia?

Dynamika.
Praca i energia potencjalna grawitacyjna w jednorodnym polu grawitacyjnym.

Praca mechaniczna jako sposób zwiększania lub zmniejszania energii mechanicznej ciała.

Zadanie

Jaką pracę trzeba wykonać, aby wykopać rów o prostokątnym przekroju poprzecznym i wymiarach

a – szerokość,

b – długość,

c – głębokość (wysokość)?

Jakie trzeba przyjąć założenia?

Rozwiązanie

Zakładamy:
Materiał wybrany z wykopu został równomiernie rozłożony na powierzchni ziemi.

Obliczamy przyrost energii potencjalnej grawitacyjnej materiału z wykopu.

Nie interesuje nas wysiłek człowieka kopiącego ręcznie ani praca wykonana przez silnik koparki.

Środek masy materiału w wykopie jest na połowie wysokości wykopu.

Przyrost energii potencjalnej grawitacyjnej materiału z wykopu równy jest przyrostowi masy tego materiału podniesionemu o połowę wysokości wykopu.

Obieramy układ odniesienia – dno wykopu. Tam energia potencjalna jest równa zero.



Najmniejszy przyrost energii potencjalnej jest dla warstwy przy powierzchni gruntu.

Największy przyrost energii występuje dla warstwy materiału przy dnie wykopu.



Jak uzasadnić ten wynik?
Jak inaczej obliczyć przyrost energii potencjalnej?

Dzielimy wybieraną bryłę materii na „plasterki” o grubości delta h i masie delta m.

Obliczamy wykonaną pracę dla każdego plasterka – równa jest energii potencjalnej każdego plasterka.
Dla plasterka z wierzchu wykopu energia jest bliska zero.

Dla plasterka z dna wykopu energia jednostkowa jest największa.
Dodajemy energię obliczoną dla każdego plasterka.

W każdym wyrażeniu na energię plasterka występują identyczne składniki:
masa plasterka – iloraz całej masy przez ilość plasterków;
przyspieszenie ziemskie – identyczne dla każdego plasterka (pole jednorodne);

Iloczyny te różnią się odległością od powierzchni wykopu.

Podział na plasterki o identycznej grubości umożliwia obliczenie całej energii jako sumy ciągu arytmetycznego.

Po wyłączeniu identycznych czynników przed nawias (lub znak sumy) otrzymujemy sumę ciągu arytmetycznego o wyrazach będących kolejnymi liczbami naturalnymi (pierwszy wyraz równy jest liczbie jeden).



Dla podziału na 10 plasterków otrzymujemy ułamek 11/10=1,1,
dla 100 plasterków – ułamek
101/100=1,01,
a dla 1000 – 1001/1000=1,001.

Co stoi na przeszkodzie, by w myślach (w teorii) podzielić wykop na dowolną ilość plasterków?

449.8-2010.11.20